Question

5．已知数列{log₂x_n}是公差为1的等差数列，数列{x_n}的前100项的和等于100，则数列{x_n}的前200项的和等于100×（1+2¹⁰⁰）．

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{log₂x_n}是公差为1的等差数列，∴log₂x_n=log₂x₁+（n-1），可得：x_n=x₁•2^n-1．
∴数列{x_n}是等比数列，首项为x₁，公比为2．
∵数列{x_n}的前100项的和等于100，∴$\frac{{x}_{1}（{2}^{100}-1）}{2-1}$=100，解得x₁=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$．
则数列{x_n}的前200项的和=$\frac{{x}_{1}（{2}^{200}-1）}{2-1}$=$\frac{100}{{2}^{100}-1}$×$\frac{{2}^{200}-1}{2-1}$=100×（1+2¹⁰⁰）．
故答案为：100×（1+2¹⁰⁰）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．