Question

如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.

(1)证明:BD⊥平面APC;

(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;

(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.

Answer 1

 (1)证明:设点O为AC,BD的交点.

由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线,

所以O为AC的中点,BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以PA⊥BD,所以BD⊥平面APC.

(2)解:连接OG.

由(1)可知,OD⊥平面APC,

则DG在平面APC内的射影为OG,

所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.

由题意得OG=PA=.

在△ABC中,

AC=

=

=2,

所以OC=AC=.

在直角△OCD中,OD===2.

在直角△OGD中,tan∠OGD==.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

(3)解:因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,

所以PC⊥OG.

在直角△PAC中,PC===,

所以GC===.

从而PG=,

所以=.