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    已知椭圆C：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，直线l过点M（m，0）．
    （Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
    （Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
    （Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（-
    1
    2
    ，
    n
    2
    ），
    ∴
    (-
    1
    2
    )2
    4
    +
    (
    n
    2
    )2
    3
    =1，解得n=±
    3
    2
    		5
    ，
    所以直线l的方程为：y=±
    3
    2
    		5
    （x+1）．
    （Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
    设直线l为x=ty-4，A（x1，y1），B（x2，y2），
    则
    x=ty-4
    3x2+4y2=12
    ，∴（3t2+4）y2-24ty+36=0，
    ∴y1+y2=
    24t
    3t2+4
    ，y1y2=
    36
    3t2+4
    ，△=144（t2-4）＞0，
    ∴AB中点为（
    -16
    3t2+4
    ，
    12t
    3t2+4
    ），
    ∴AB的中垂线为：y-
    12t
    3t2+4
    =-t（x+
    16
    3t2+4
    ），
    ∴点P为（-
    4
    3t2+4
    ，0），∴P到直线l的距离d=
    |
    2t2+12
    3t2+4
    |
    		t2+1
    =
    12
    		t2+1
    3t2+4
    ，
    ∵|AB|=
    12
    		t2-4
    3t2+4
    		1+t2
    ，
    ∴
    12
    		t2+1
    3t2+4
    =
    		3
    2
    •
    12
    		t2-4
    3t2+4
    		1+t2
    ，
    ∴t=±
    4
    		3
    3
    ，
    ∴存在点P为（-
    1
    5
    ，0）．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点P是圆F1：(x+
    		3
    )2+y2=16    上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线与PF1交于M点．
    （1）求点M的轨迹C的方程；
    （2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆方程为x2+
    y2
    4
    =1    ，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足
    OP
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，点N的坐标为(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，当l绕点M旋转时，求：
    （1）动点P的轨迹方程；
    （2）|
    NP
    |    的最小值与最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若椭圆
    x2
    12
    +
    y2
    8
    =1    上有两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，则PQ的中点M的坐标是（　　）
    A．(
    1
    3
    ，
    1
    6
    )    		B．(
    1
    2
    ，
    1
    3
    )    		C．(-
    1
    3
    ，-
    1
    2
    )    		D．(-
    1
    2
    ，-
    1
    3
    )

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
    （1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
    （2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
    AM
    =λ
    AB
    ，证明：λ+e2=1；
    （3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M 在棱AB上，且AM=
    1
    3
    ，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M 的距离的平方差为2，则动点P的轨迹是（　　）
    A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k1、k2．
    （1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；
    （2）求证：k1+k2=0．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
    （1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
    （2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
    （3）设线段OF的n（n∈N+，n≥2）等分点从左向右依次为Ri（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为Ti（i=1，2，…，n-1），那么直线ERi（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设双曲线C的焦点在y轴上，离心率为
    		2
    ，其一个顶点的坐标是（0，1）．
    （Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
    （Ⅱ）若直线l与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2，3），求直线l的方程．

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