Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比．

Answer 1

（1）证明：∵PC²=PA²+AC²，PB²=PA²+AB²
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∵AC∩AB=A
∴PA⊥平面ABC
∵BC?平面ABC
∴PA⊥BC
（2）解：取PC的中点G，连接AG、BG

∵PF：FC=3：1
∴GF=FC
又∵D、E分别为BC、AC的中点
∵AG∥EF，BG∥DF
∵AG∩BG=G，EF∩DF=F
∴平面ABG∥平面DEF；
（3）解：设F到平面ABC的距离为d，则
∵PF：FC=3：1，PA⊥平面ABC
∴d=
∵D、E分别为BC、AC的中点
∴
∴三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比为1：12．
分析：（1）先利用线面垂直的判定，证明PA⊥平面ABC，再利用线面垂直的性质，即可得到结论；
（2）取PC的中点G，利用线线平行，可得线面平行，从而可得面面平行；
（3）确定两个三棱锥底面积、高之间的关系，即可求得结论．
点评：本题考查线面垂直，考查面面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定与性质，面面平行的判定方法是关键．