Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为该三角形的面积，且2sinB-2sin²B-cos2B=

3

-1．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若B为锐角，a=6，S=6

3

，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由B为锐角确定出B的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将a，S，以及sinB的值代入求出c的值，再由a，c，cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）2sinB-2sin²B-cos2B=2sinB-2sin²B-（1-2sin²B）=

3

-1，即2sinB-1=

3

-1，
∴sinB=

3

2

，
则B=

π

3

或

2π

3

；
（Ⅱ）∵B为锐角，∴B=

π

3

，
∵S=

1

2

acsinB，a=6，sinB=

3

2

，S=6

3

，
∴

1

2

×6c×

3

2

=6

3

，
解得：c=4，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=36+16-24=28，
则b=2

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．