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已知锐角△ABC中,三个内角为A、B、C,两向量
p
=(2-2sinA)
e
1
+(cosA+sinA)
e
2
q
=(sinA-cosA)
e1
+(1+sinA)
e2
,其中
e1
e2
是两个不共线向量.又知
p
q
是共线向量.
(1)求∠A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos(
C-3B
2
)
取最大值时,∠B的大小.
分析:(1)根据
p
q
,可得2(1-sinA)(1+sinA)=sin2A-cos2A,化简可得cos2A=-
1
2
,由此求出锐角B的值.
(2)由A=60°,可得 B+C=120°,利用三角函数的恒等变换化简函数y为sin(2B-
π
6
)+1
,当2B-
π
6
=
π
2
时,函数y取得最大值,由此求得B的值.
解答:解:(1)∵
p
q
,∴2(1-sinA)(1+sinA)=sin2A-cos2A,
∴2cos2A+cos2A=0,∴1+2cos2A=0,∴cos2A=-
1
2

∵0<2A<π,∴2A=120°,∴A=60°.  …8
(2)∵A=60°,∴B+C=120°.
y=2sin2B+cos(60°-2B)=1-cos2B+
1
2
cos2B+
3
2
sin2B
 
=
3
2
sin2B-
1
2
cos2B+1=sin(2B-
π
6
)+1

∴当2B-
π
6
=
π
2
时,即B=
π
3
 时,函数y取得最大值. …16
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,根据三角函数的值求角,两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,式子的变形,是解题的关键.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=
2
,b=
3
,B=
π
3

(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)设函数f(x)=cosB•sin2x+cos2x,当x∈[-
π
4
,0]
时,求f(x)的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A,B,C.
(1)设
BC
CA
=
CA
AB
,求证:△ABC是等腰三角形;
(2)设向量
s
=(2sinC,-
3
),
t
=(cos2C,2cos2
C
2
-1),且
s
t
,若sinA=
2
3
,求sin(
π
3
-B)的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•淮安模拟)已知锐角△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,向量
s
=(2sinC,-
3
),
t
=(cos2C,2cos2
C
2
-1),且
s
t

(1)求C的大小;
(2)若sinA=
1
3
,求sin(
π
3
-B)
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A?>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A,B,C,若有f(
A
π
)=
3
2
,边BC=
7
,sin B=
21
7
求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知锐角△ABC中,三个内角为A,B,C,两向量
p
=(2-2sinA,cosA+sinA),
q
=(sinA-cosA,1+sinA),若
p
q
是共线向量.
(1)求∠A的大小;  
(2)求函数y=2sin2B+cos(
C-3B
2
)
取最大值时,∠B的大小.

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