Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，作EF⊥PB交PB于F

(1)求证：PA∥平面EDB；

(2)求证：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

Answer 1

【答案】

设AC、BD相交于点O，连接OE、BE、DF。

（1）明显可知，PA在平面EDB外，E是PC中点，O是正方形ABCD中点，所以OE是三角形APC中位线，所以有EO//PA。所以PA//平面EDB。

（2）由条件可知，BC垂直于CD，侧棱PD⊥底面ABCD，所以，PD⊥BC，PD/CD相交于点D，所以BC⊥平面PCD。因为PD=CD，E是PC中点，所以DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以DE⊥PB，又因为EF⊥PB，且DE和EF相交，所以PB⊥平面EFD

（2）以DA,DC，DP为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，设底面正方形的边长为１，易知为平面CBD的法向量，为平面PBD的法向量，＝，，，二面角C-PB-D的大小为，

【解析】（1）设AC、BD相交于点O，连接OE，证明线线平行EO//PA，得到线面平行；(2)证明PB垂直平面内两条相交直线；（3向量法计算