Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，a²+b²-c²=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab．
（I）求角B；
（Ⅱ）设b=10，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （I）求得sinA，由余弦定理可得cosC，由平方关系可得sinC，再由两角和的余弦公式求cosB，即可得到所求B的值；
（Ⅱ）运用正弦定理，可得a，c，再由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB可得．

解答 解：（Ⅰ）a²+b²-c²=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab，
可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即有sinC=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
sinA=$\sqrt{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
可得cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）
=-（$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜B＜π，可得B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{10×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6$\sqrt{5}$，
c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{10×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4$\sqrt{10}$．
即有三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{5}$×4$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=60．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．