Question

14．某公司研制出了一种新产品，其生产这种产品每年需要固定投资80万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资2万元，年产量为x（x∈N^*）件．当年产量不超过20件时，年销售量总收入为（30x-x²）万元；当年产量超过20件时，年销售总输入为210万元．
（1）记该公司生产并销售这种产品所得的年利润为f（x）万元，将f（x）表示为年产量x的函数；
（2）当年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大年利润．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，当0＜x≤20，x∈N^*时，当x＞20，x∈N^*时，由利润为收入减成本，即可得到f（x）的解析式；
（2）运用二次函数的最值求法和一次函数的单调性，即可得到最大值．

解答 解：（1）当0＜x≤20，x∈N^*时，f（x）=30x-x²-（80+2x）=-x²+28x-80；
当x＞20，x∈N^*时，f（x）=210-（80+2x）=-2x+130．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+28x-80，0＜x≤20，x∈N}\\{-2x+130，x＞20，x∈N}\end{array}\right.$；
（2）当0＜x≤20，x∈N^*时，f（x）=-（x-14）²+116，
当x=14时，f（x）取得最大值116；
当x＞20时，f（x）递减，即f（x）＜90．
则当年产量为14件时，所得年利润最大，且为116万元．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的最值的求法，注意运用二次函数和一次函数的单调性，属于基础题．