Question

点P为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线y=-

b

a

x于Q、R，交y轴、x轴于M、N两点，记△OMQ与△ONR的面积分别为S₁，S₂，当ab=2时，S₁²+S₂²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设设P点的坐标为（n，m），（n＞0，m＞0），由题意分别表示出Q、R，M、N的坐标，再求出S₁，S₂的面积，再根据点P再椭圆上，利用基本不等式求得mn≤1，
再利用基本不等式求出S₁²+S₂²≥2S₁•S₂≥

1

2

，问题得以解决

解答： 解：设P点的坐标为（n，m），（n＞0，m＞0）
∵过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线y=-

b

a

x于Q、R，交y轴、x轴于M、N两点，
∴点Q的坐标为（-

am

b

，m），点R的坐标为（n，-

bn

a

），点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），
∴|NR|=

bn

a

，|ON|=n，|MQ|=

am

b

，|OM|=m，
∴S₁=S_△OMQ=

1

2

×m×

am

b

=

am2

2b

，S₂=S_△ONR=

1

2

×n×

bn

a

=

bn2

2a

，
∴S₁•S₂=

m2n2

4

，
∵P点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

n2

a2

+

m2

b2

=1，
∴1=

n2

a2

+

m2

b2

≥2•

nm

ab

=mn，
即mn≤1，
∴S₁²+S₂²≥2S₁•S₂=

m2n2

2

≥

1

2

，
故S₁²+S₂²的最小值为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查了椭圆的有关知识，以及基本不等式的应用，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．