Question

已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f(

π

4

)是它的最大值，（其中m、n为常数且mn≠0）给出下列命题：
①f(x+

π

4

)是偶函数；
②函数f（x）的图象关于点(

7π

4

，0)对称；
③f(-

3π

4

)是函数f（x）的最小值；
④记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=

m

2

的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π
⑤

m

n

=1．
其中真命题的是

 

（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：由题意可得f（x）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ），对于①，由于 f(x+

π

4

)=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=

7π

4

时，f（x）=0，故②正确．
对于③，由于 f(-

3π

4

)=-

m2 +n2

，是 函数f（x）的最小值，故 ③正确．
对于④，由题意可得，|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ④不正确．
对于⑤，由tan∅=tan（2kπ+

π

4

 ）=

n

m

=1，可得⑤正确．

解答：解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=

m2 +n2

 sin（x+∅），且f(

π

4

)是它的最大值，
∴

π

4

+∅=2kπ+

π

2

，k∈z，∴∅=2kπ+

π

4

，∴tan∅=

n

m

=1．
∴f（x）=

m2 +n2

 sin（x+2kπ+

π

4

）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ）．
对于①，由于 f(x+

π

4

)=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

+

π

4

 ）=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由于当x=

7π

4

时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点(

7π

4

，0)对称，故②正确．
对于③，由于  f(-

3π

4

)=

m2 +n2

 sin（-

π

2

 ）=-

m2 +n2

，是 函数f（x）的最小值，故 ③正确．
对于④，函数f（x）的图象即把函数 y=

m2 +n2

sinx的图象向左平移

π

4

 个单位得到的，故|P₂P₄|等于
一个周期2π，故 ④不正确．
对于⑤，由tan∅=

n

m

=1，可得⑤正确．
 故答案为：①②③⑤．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到 f（x）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ），是解题的关键．