【题目】设椭圆M:的左顶点为
、中心为
,若椭圆M过点
,且
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上,试求△APQ面积的最大值;
(3)过点作两条斜率分别为
的直线交椭圆M于
两点,且
,求证:直线
恒过一个定点.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】(1)由,可知
,
又点坐标为
故
,可得
,
因为椭圆M过点,故
,可得
,
所以椭圆M的方程为.
(2)AP的方程为,即
,
由于是椭圆M上的点,故可设
,
所以
当,即
时,
取最大值.
故的最大值为
.
法二:由图形可知,若取得最大值,则椭圆在点
处的切线
必平行于
,且在直线
的下方.
设方程为
,代入椭圆M方程可得
,
由,可得
,又
,故
.
所以的最大值
.
(3)直线方程为
,代入
,可得
,
,
又故
,
,
同理可得,
,又
且
,可得
且
,
所以,
,
,
直线的方程为
,
令,可得
.
故直线过定点
.
(法二)若垂直于
轴,则
,
此时与题设矛盾.
若不垂直于
轴,可设
的方程为
,将其代入
,
可得,可得
,
又,
可得,
故,
可得或
,又
不过
点,即
,故
.
所以的方程为
,故直线
过定点
.
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【题目】已知动点到点
和直线l:
的距离相等.
(Ⅰ)求动点的轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知不与垂直的直线
与曲线E有唯一公共点A,且与直线
的交点为
,以AP为直径作圆
.判断点
和圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】在一次小型抽奖活动中,抽奖规则如下:一个不透明的口袋中共有6个大小相同的球,它们是1个红球,1个黄球,和4个白球,从中抽到红球中50元,抽到黄球中10元,抽到白球不中奖.某人从中一次性抽出两球,求:
(1)该人中奖的概率;
(2)该人获得的总奖金X(元)的分布列和均值E(X).
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1 , 设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1 .
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【题目】已知抛物线的方程为,过点
的一条直线与抛物线
交于
两点,若抛物线在
两点的切线交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设直线与直线
的夹角为
,求
的取值范围.
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【题目】已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
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