Question

7．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为$\frac{9}{8}$，最小值为-2，试求a，b的值；
（2）若c=1，0＜a＜1，且|$\frac{f（x）}{x}$|≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）

Answer 1

分析 （1）讨论对称轴与区间[0，2]的关系，判断f（x）的单调性，列出方程组解出a，b；
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，讨论极值点与区间[1，2]的关系判断g（x）的单调性，列出不等式组解出b．

解答 （1）抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，
①当$-\frac{b}{2a}＜2$时，即b＞-4a时，
当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f{（x）_{max}}=f（-\frac{b}{2a}）=a×\frac{b^2}{{4{a^2}}}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{{-{b^2}}}{4a}+c=\frac{9}{8}$，f（x）_min=f（2）=4a+2b+c=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{9}{8}\\ 4a+2b=-2\end{array}\right.$，
∴a=-2，b=3．
②当$-\frac{b}{2a}≥2$时，即b≥-4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）_min=f（0）=0与f（x）_min=-2矛盾，无解，
综合得：a=-2，b=3．
（2）$|\frac{f（x）}{x}|≤2$对任意x∈[1，2]恒成立，即$|ax+\frac{1}{x}+b|≤2$对任意x∈[1，2]恒成立，
即$-2≤ax+\frac{1}{x}+b≤2$对任意x∈[1，2]恒成立，
令$g（x）=ax+\frac{1}{x}+b$，则$\left\{\begin{array}{l}{[g（x）]_{max}}≤2\\{[g（x）]_{min}}≥-2\end{array}\right.$，
∵0＜a＜1，∴$\frac{1}{{\sqrt{a}}}＞1$，
（ⅰ）若$\frac{1}{{\sqrt{a}}}≥2$，即$0＜a≤\frac{1}{4}$时，g（x）在[1，2]单调递减，此时$\left\{\begin{array}{l}{[g（x）]_{max}}=g（1）≤2\\{[g（x）]_{min}}=g（2）≥-2\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a+1+b≤2\\ 2a+\frac{1}{2}+b≥-2\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}b≤1-a\\ b≥-2a-\frac{5}{2}\end{array}\right.$，此时$（-2a-\frac{5}{2}）-（1-a）=-a-\frac{7}{2}＜0$，∴$（-2a-\frac{5}{2}）＜（1-a）$
∴$-2a-\frac{5}{2}≤b≤1-a$．
（ⅱ）若$1＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}＜2$，即$\frac{1}{4}＜a＜1$时，g（x）在$[1，\frac{1}{{\sqrt{a}}}]$单调递减，在$[\frac{1}{{\sqrt{a}}}，2]$单调递增，
此时，${[g（x）]_{min}}=g（\frac{1}{{\sqrt{a}}}）≥-2⇒2\sqrt{a}+b≥-2⇒b≥-2-2\sqrt{a}$，
只要$\left\{\begin{array}{l}g（1）=a+1+b≤2\\ g（2）=2a+\frac{1}{2}+b≤2\\ b≥-2\sqrt{a}-2\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}b≤1-a\\ b≤\frac{3}{2}-2a\\ b≥-2\sqrt{a}-2\end{array}\right.$，$（1-a）-（\frac{3}{2}-2a）=a-\frac{1}{2}$
当$\frac{1}{2}≤a＜1$时，$1-a≥\frac{3}{2}-2a$，$-2\sqrt{a}-2≤b≤\frac{3}{2}-2a$
当$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$时，$1-a＜\frac{3}{2}-2a$，$-2\sqrt{a}-2≤b≤1-a$．
综上得：①$0＜a≤\frac{1}{4}$时，$-2a-\frac{5}{2}≤b≤1-a$；
②$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$时，$-2\sqrt{a}-2≤b≤1-a$；
③$\frac{1}{2}≤a＜1$时，$-2\sqrt{a}-2≤b≤\frac{3}{2}-2a$．

点评 本题考查了二次函数的单调性，最值，分类讨论思想，属于中档题．