精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,其中BC=2AB=2PA=6,M、N为侧棱PC上的两个三等分点.
①求证:AN平面MBD;
②求二面角M-BD-C的余弦值.
①证明:连接对角线AC交BD于点O,
∵底面ABCD是矩形,∴AO=OC.
又∵NM=MC=
1
3
PC
,∴OMAN.
又∵AN?平面MBD,OM?平面MBD.
∴AN平面MBD;
②距离如图所示的空间直角坐标系:∵BC=2AB=2PA=6,∴D(6,0,0),C(6,3,0),B(0,3,0),P(0,0,3).
由M点为线段PC的三等分点,∴M(4,2,1).
DB
=(-6,3,0)
DM
=(-2,2,1)

设平面BMD的法向量
n
=(x,y,z)

n
DB
=0
n
DM
=0
-6x+3y=0
-2x+2y+z=0
,令y=2,则x=1,z=
5
2

n
=(1,2,
5
2
)

∵PA⊥平面BCD,∴可取
AP
=(0,0,3)作为平面BCD的法向量.
cos<
n
AP
=
n
AP
|
n
||
AP
|
=
5
2
12+22+(
5
2
)2
32
=
5
3

∴二面角M-BD-C的余弦值为
5
3
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,AB=8,点P是平面ABC外一点,若PA=PB=PC,且PO⊥平面ABC,O为垂足,则OC=______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若一个球的半径为1,A、B为球面上两点,且|AB|=1,则A、B两点的球面距离为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在直三棱柱ADE-BCF中,∠ADE=90°,AD=AE=EF=2,M,N分别是AF,BC的中点.
(1)求证:MN平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积V.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=
2
,M是线段B1D1的中点.
(1)求证:BM平面D1AC;
(2)求三棱锥D1-AB1C的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,点M、N分别为侧棱PD、PC的中点
(1)求证:CD平面AMN;
(2)求证:AM⊥平面PCD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,求证:
(1)AE平面BDF;
(2)平面BDF⊥平面ACE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题
①ab,aα⇒bα;②a⊥b,a⊥α⇒bα;
③aα,βα⇒aβ;④a⊥α,β⊥α⇒aβ,
其中不正确的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE平面ABC;
(Ⅱ)求证:B1F⊥平面AEF;
(Ⅲ)求二面角A-EB1-F的大小.

查看答案和解析>>

同步练习册答案