Question

1．已知直线y=b与函数f（x）=2x+3和g（x）=ax+lnx分别交于A，B两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=2．

Answer 1

分析 设A（x₁，b），B（x₂，b），则2x₁+3=ax₂+lnx₂=b，表示出x₁，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a=1，进而得到b，求出a+b．

解答 解：设A（x₁，b），B（x₂，b），可设x₁＜x₂，
则2x₁+3=ax₂+lnx₂=b，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（ax₂+lnx₂-3），
∴|AB|=x₂-x₁=（1-$\frac{1}{2}$a）x₂-$\frac{1}{2}$lnx₂+$\frac{3}{2}$，
令y=（1-$\frac{1}{2}$a）x-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{3}{2}$，
则y′=1-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{（2-a）x-1}{2x}$（x＞0），
由|AB|的最小值为2，
可得2-a＞0，
函数在（0，$\frac{1}{2-a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2-a}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\frac{1}{2-a}$时，函数y取得极小值，且为最小值2，
即有（1-$\frac{1}{2}$a）•$\frac{1}{2-a}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2-a}$+$\frac{3}{2}$=2，
解得a=1，
由x₂=1，
则b=ax₂+lnx₂=1+ln1=1，
可得a+b=2．
故答案为：2．

点评 本题考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．