Question

1．已知y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{k{x}^{2}+kx+1}$的定义域为R，求k的取值范围．

Answer 1

分析 把y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{k{x}^{2}+kx+1}$的定义域为R，转化为对任意实数x，kx²+kx+1≠0恒成立，然后分k=0和k≠0分类求解实数k的范围．

解答 解：∵y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{k{x}^{2}+kx+1}$的定义域为R，
∴对任意实数x，kx²+kx+1≠0恒成立，
当k=0时，kx²+kx+1≠0成立；
当k≠0时，要使对任意实数x，kx²+kx+1≠0恒成立，
则△=k²-4k＜0，解得：0＜k＜4．
综上，满足y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{k{x}^{2}+kx+1}$的定义域为R的实数k的取值范围为[0，4）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．