Question

11．已知在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，若sin（A+B）=$\frac{2}{3}$，cosB=-$\frac{3}{4}$，求cosA的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cosC、sinB的值，再利用两角和的余弦公式求得cosA=-cos（B+C）的值．

解答 解：△ABC中，∵sin（A+B）=sinC=$\frac{2}{3}$，cosB=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴B为钝角，∴C为锐角，∴cosC=$\sqrt{{1-sin}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-（-$\frac{3}{4}$）•$\frac{\sqrt{5}}{3}$+$\frac{\sqrt{7}}{4}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{12}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．