Question

1．设f（x）=x²+ax+b，且实数p，q适合p+q=1，求证：不等式pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），y对于一切实数恒成立的充要条件是p，q∈[0，1]．

Answer 1

分析 根据充要条件的定义进行证明即可．

解答 解：∵pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），
∴pf（x）+qf（y）-f（px+qy）≥0
由p+q=1，知pf（x）+qf（y）-f（px+qy）
=p（x²+ax+b）+q（y²+ay+b）-[（px+qy）²+a（px+qy）+b]
=p（1-p）x²-2pqxy+q（1-q）y²
=pq（x-y）²≥0
故pq≥0，即p（1-p）≥0
∴0≤p≤1．
∵p+q=1，∴0≤q≤1
反之也成立，
即不等式pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），y对于一切实数恒成立的充要条件是p，q∈[0，1]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的证明，结合不等式的性质是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．