Question

16．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$（x∈R）
（1）讨论f（x）的单调性与奇偶性．
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的性质结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）的单调性与奇偶性．
（2）将不等式进行化简，利用参数分类法即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（-x）=${2}^{-x}-\frac{1}{{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^-x=-（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-f（x），故函数为奇函数，
∵y=$\frac{1}{{2}^{x}}$为增函数，且y＞0，
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}}$为减函数，则y=-$\frac{1}{{2}^{x}}$为增函数，
则f（x）的单调递增．
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，
则2^x（2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$）+m（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥0，
∴2^x（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）+m（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥0，
∵x∈[0，+∞），
∴2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$＞0，
∴不等式等价为2^x（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）+m≥0，
即m≥-2^x（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-（4^x+1）恒成立，
当x≥0时，4^x+1≥1+1=2，则-（4^x+1）≤-2
∴m≥-2，
因此m的取值范围为[-2，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立，以及函数单调性和奇偶性的判断，利用参数分离法结合指数函数的单调性是解决本题的关键．