Question

5．已知cosα+sinβ=1，其中0≤β≤45°，求sin（α-β）的最大值．

Answer 1

分析 由题意设x=cosα∈[0，1]，y=sinβ∈[0，1]，利用平方关系和两角差的正弦公式化简sin（α-β），利用基本不等式求出sin（α-β）的最大值．

解答 解：由题意设x=cosα∈[0，1]，y=sinβ∈[0，1]，
因为cosα+sinβ=1，其中0≤β≤45°，则x+y=1，
所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=$\sqrt{1-{x}^{2}}$•$\sqrt{1-{y}^{2}}$-xy（利用$ab≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$）
≤$\frac{1-{x}^{2}+1{-y}^{2}}{2}$-xy，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
=$\frac{2-（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy}{2}$=$\frac{2-（{x+y）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则sin（α-β）的最大值为$\frac{1}{2}$，当且仅当“$α=\frac{π}{3}$、$β=\frac{π}{6}$”时取等号．

点评 本题考查平方关系、两角差的正弦函数，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．