Question

17．利用函数的性质比较：2${\;}^{\frac{1}{2}}$，3${\;}^{\frac{1}{3}}$，6${\;}^{\frac{1}{6}}$．

Answer 1

分析 把2${\;}^{\frac{1}{2}}$、3${\;}^{\frac{1}{3}}$和6${\;}^{\frac{1}{6}}$化为指数相同的幂的形式，利用幂函数的单调性即可比较大小．

解答 解：∵2${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$=$\root{6}{{2}^{3}}$=${8}^{\frac{1}{6}}$，
3${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{3}$=$\root{6}{{3}^{2}}$=${9}^{\frac{1}{6}}$，6${\;}^{\frac{1}{6}}$；
且函数y=${x}^{\frac{1}{6}}$在x∈[0，+∞）上是增函数，
∴${6}^{\frac{1}{6}}$＜${8}^{\frac{1}{6}}$＜${9}^{\frac{1}{6}}$，
即${6}^{\frac{1}{6}}$＜${2}^{\frac{1}{2}}$＜${3}^{\frac{1}{3}}$．

点评 本题考查了幂函数的性质的应用问题，也考查了幂的运算法则应用问题，是基础题目．