Question

9．若存在实数θ，使得2x²-4xsinθ+3cosθ=0成立，则x的取值范围为[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得 sin（θ+α）=$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$，故有 $\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$≤1，由此求得x的范围．

解答 解：由题意可得，存在实数θ，使4xsinθ-3cosθ=2x² 成立，
即$\sqrt{{16x}^{2}+9}$sin（θ+α）=2x²，即 sin（θ+α）=$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$，（其中，cosα=$\frac{4x}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$，sinα=$\frac{-3}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$，0≤α＜2π）
∴$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$≤1，求得-$\frac{1}{2}$≤x²≤$\frac{9}{2}$，可得-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题主要考查辅助角公式、正弦函数的值域，属于基础题．