Question

13．已知公比为q的等比数列{a_n}的前6项和S₆=21，且4a₁，3a₂，2a₃成等差数列．
（1）求a_n；
（2）设{b_n}是首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求不等式T_n-b_n＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，可得6a₂=4a₁+2a₃，运用等比数列的通项公式，从中解出q，再由S₆=21，求出a₁，写出其通项公式；
（2）由等差数列的通项公式以及求和公式，得到T_n-b_n的表达式，再由a₁的值分别代入求解不等式即可．

解答 解：（1）∵4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，
∴6a₂=4a₁+2a₃，
即有3a₁q=2a₁+a₁q²，
即q²-3q+2=0，
∴q=1或q=2．
当q=1时，a_n=a₁，S₆=6a₁=21，
∴a1=$\frac{7}{2}$，
当q=2时，S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=21，
∴a₁=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{7}{2}$或a_n=$\frac{1}{3}$•2^n-1．
（2）b_n=2+（n-1）•（-a₁），T_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$•（-a₁），
∴T_n-b_n=-$\frac{{a}_{1}}{2}$n2+（2+$\frac{3{a}_{1}}{2}$）n-2-a₁，
当a₁=$\frac{7}{2}$时，T_n-b_n=-$\frac{7}{4}$n2+$\frac{29}{4}$n-$\frac{11}{2}$，
令T_n-b_n＞0，化简得，7n²-29n+22＜0，1＜n＜$\frac{22}{7}$，
∴不等式解集为{2，3}．
当a₁=$\frac{1}{3}$时，T_n-b_n=-$\frac{1}{6}$n²+$\frac{5}{2}$n-$\frac{7}{3}$，
令T_n-b_n＞0，化简得，n²-15n+14＜0，1＜n＜14，
∴不等式解集为{n∈N^*|1＜n＜14}．
综上所述，当a₁=$\frac{7}{2}$时，不等式解集为{2，3}；
当a₁=$\frac{1}{3}$时，不等式解集为{n∈N^*|1＜n＜14}．

点评 本题是对等差数列和等比数列的基本概念和基本公式的考查．学生在做这类题目时一般把握较大，值得注意的是，本题的计算量稍大，学生在计算时要细心才能够将这样的题目解决的稳稳当当．