Question

【题目】已知正三角形的边长为2，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为（ ）

A.1B.C.2D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

可建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可得动点在图中的圆上（实线部分）运动，设点，则可用的三角函数表示，从而可求其最大值.也可以把表示为，故（如图），利用向量共线的几何意义可得的最大值就是的最大值，利用三角形相似得当与半圆相切时最大.

如图所示，由于动点满足，且，

因为，所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动，，，，，，，，

所以，

，

因为，所以，.

所以，故选D．

方法二：等和线法

由于动点满足，且，其中，

所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动且.

设的中点为，与交于点，

，

所以，所以，

过点分别作直线平行交于，

则，当与半圆相切时，最大且为.

故选D.