【题目】已知函数.
(1)若时,直线
与函数
图象有三个相异的交点,求实数
的取值范围;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性与极值,利用数形结合思想可得出实数
的取值范围;
(2)求得导数,对实数
分
和
两种情况讨论,分析导数的符号变化,进而可得出函数
的单调递增区间和减区间.
(1)当时,
,
.
令,得
或
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
极小值 | 极大值 |
所以,函数的单调递减区间为
和
,单调递增区间为
.
当
时,函数
有极小值
;当
时,函数
有极大值
,如下图所示:
若直线与函数
图象有三个相异的交点,则
,
因此,实数的取值范围为
;
(2),
.
①当时,
,
.
令,得
;令
,得
.
所以,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
②当时,令
,得
或
;令
,得
.
所以,函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
③当时,令
,得
;令
,得
或
.
所以,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.
综上所述,
当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.
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【题目】椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线
的焦点重合,过
的直线
与椭圆交于
、
两点,与抛物线交于
、
两点.当直线
与
轴垂直时,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最大值和最小值.
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【题目】设复数β=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0(m∈R)的一个虚根,且|β|=2,求实数m的值;
(2)设复数β满足条件|β+3|+(﹣1)n|β﹣3|=3a+(﹣1)na(其中n∈N*、常数),当n为奇数时,动点P(x、y)的轨迹为C1.当n为偶数时,动点P(x、y)的轨迹为C2.且两条曲线都经过点
,求轨迹C1与C2的方程;
(3)在(2)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于,求实数x0的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线(
为参数),在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
.
(1)写出的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设点在曲线
上,点
在曲线
上,求
的最小值及此时点
的直角坐标.
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【题目】已知函数(
)在
上至少存在两个不同的
,
满足
,且
在
上具有单调性,点
和直线
分别为
图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是( )
A.的最小正周期为
B.
C.在
上是减函数
D.将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到
的图象,则
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【题目】随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相,冬奥会正式进入了北京周期,全社会对冬奥会的热情空前高涨.
(1)为迎接冬奥会,某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及,并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数(单位:人)与时间
(单位:年),列表如下:
依据表格给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与
的关系,请计算相关系数
并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据
.
(2)某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者,特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元;
方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率同为 ,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品,并且都选择第二种优惠方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
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