Question

【题目】椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值；最小值

【解析】

（1）由抛物线方程，得焦点，联立抛物线方程与直线的方程，得出，根据对称性以及，得出，从而得出，代入椭圆方程，根据椭圆的性质得出椭圆的方程；

（2）讨论直线与轴是否垂直，当直线与轴不垂直时，设出直线方程，并与椭圆联立，利用韦达定理以及向量的数量积公式，化简得出，再求最值，即可得出结论.

解：（1）由抛物线方程，得焦点．

设椭圆的方程：．

解方程组得．

由于抛物线、椭圆都关于轴对称，

∴，，∴．

∴又，

因此，，解得，并推得．

故椭圆的方程为．

（2）由（1）知，

①若垂直于轴，则，

∴

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由得

∵，∴方程有两个不等的实数根．

设．

∴

，则

综上，

所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值