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在平面直角坐标系xOy中,已知对于任意实数k,直线(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
恒过定点F.设椭圆C的中心在原点,一个焦点为F,且椭圆C上的点到F的最大距离为2+
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设(m,n)是椭圆C上的任意一点,圆O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆C有4个相异公共点,试分别判断圆O与直线l1:mx+ny=1和l2:mx+ny=4的位置关系.
分析:(1)先将(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
转化为(
3
x+y-3)k+(x-
3
y-
3
)=0
进而可求得F的坐标得到c的值,再由a+c=2+
3
可求出a的值,进而可得b的值,确定椭圆方程.
(2)先根据x2+y2=r2(r>0)与椭圆C有4个相异公共点确定r的范围,再由(m,n)在椭圆C上可得到
m2
4
+n2=1
和m的范围,圆心O到直线l1的距离和圆心O到直线l2的距离可判断直线l1与l2与圆O的关系.
解答:解:(1)(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0
?(
3
x+y-3)k+(x-
3
y-
3
)=0

3
x+y-3=0  
x-
3
y-
3
=0
F(
3
,  0)

设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
则由题设,知
c=
3
a+c=2+
3
于是a=2,b2=1.
所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)因为圆O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆C有4个相异公共点,
所以b<r<a,即1<r<2.
因为点(m,n)是椭圆
x2
4
+y2=1
上的点,
所以
m2
4
+n2=1,且-2≤m≤2

所以
m2+n2
=
3
4
m2+1
∈[1,  2]

于是圆心O到直线l1的距离d1=
1
m2+n2
≤1<r

圆心O到直线l2的距离d2=
4
m2+n2
≥2>r

故直线l1与圆O相交,直线l2与圆O相离.
点评:本题主要考查椭圆的基本性质和直线与圆的位置关系.
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2
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x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
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3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
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1
2
,则m的值为
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
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(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
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