Question

已知△ABC的两边长分别为AB=25，AC=39，且O为△ABC外接圆的圆心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圆O的半径为

65

2

，且角B为钝角，求BC边的长；
（2）求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将AB，AC及R的值代入求出sinB与sinC的值，由B为钝角，得到cosB小于00，cosC大于0，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosB与cosC的值，再利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（B+C），将各自的值代入求出sin（B+C）的值，即为sinA的值，由R与sinA的值，利用正弦定理求出BC的长；
（2）由已知得：

AO

+

OC

=

AC

，两边平方利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则化简，得到一个关系式，同理根据

AO

+

OB

=

AB

，两边平方化简得到另一个关系式，两关系式相减，整理后即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）由正弦定理有

AB

sinC

=

AC

sinB

=2R（R为外接圆半径），
∴

25

sinC

=

39

sinB

=65，
∴sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，又B为钝角，
∴cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

3

5

×

12

13

+

5

13

×（-

4

5

）=

16

65

，
又

BC

sinA

=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16；  
（2）由已知得：

AO

+

OC

=

AC

，∴（

AO

+

OC

）²=

AC

²，
即|

AO

|²+2

AO

•

OC

+|

OC

|²=|

AC

|²=39²，
同理

AO

+

OB

=

AB

，∴|

AO

|²+2

AO

•

OB

+|

OB

|²=|

AB

|²=25²，
两式相减得：2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=（39+25）（39-25）=896，
即2

AO

•

BC

=896，
则

AO

•

BC

=448．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式及平方差公式的运用，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．