Question

已知△ABC的两边长分别为AB=25，AC=39，且O为△ABC外接圆的圆心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圆O的半径为

65

2

，且角B为钝角，求BC边的长；
（2）求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理求得sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，从而求得 cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

．再利用两角和的正弦公式求得 sin（B+C） 的值，利用正弦定理求得BC的值．
（2）把

AO

+

OC

=

AC

平方，再把

AO

+

OB

=

AB

平方，相减可得 2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=896，即 2

AO

•

BC

=896，从而求得

AO

•

BC

的值．

解答：解：（1）由正弦定理有

AB

sinC

 = 

AC

sinB

=2R，把AB=25，AC=39，外接圆O的半径为

65

2

，且角B为钝角代入求得sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，
∴cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

，∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

16

65

．
再由

BC

sinA

=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16．
（2）∵

AO

+

OC

=

AC

，∴

AO

2+

OC

2+2

AO

•

OC

=

AC

2=39²，
同理，

AO

+

OB

=

AB

，∴

AO

2+

OB

2+2

AO

•

OB

=

AB

2=25²，
两式相减可得 2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=896，
 即 2 

AO

•

BC

=896，∴

AO

•

OB

=448．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．