Question

已知△ABC的两边长分别为AB=25，AC=39，且O为△ABC外接圆的圆心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将AB，AC及R的值代入求出sinB与sinC的值，由B为钝角，得到cosB小于00，cosC大于0，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosB与cosC的值，再利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（B+C），将各自的值代入求出sin（B+C）的值，即为sinA的值，由R与sinA的值，利用正弦定理求出BC的长；
（2）由已知得：+=，两边平方利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则化简，得到一个关系式，同理根据+=，两边平方化简得到另一个关系式，两关系式相减，整理后即可求出所求式子的值．
解答：解：（1）由正弦定理有==2R（R为外接圆半径），
∴==65，
∴sinB=，sinC=，又B为钝角，
∴cosC=，cosB=-，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×（-）=，
又=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16；  
（2）由已知得：+=，∴（+）²=²，
即||²+2•+||²=||²=39²，
同理+=，∴||²+2•+||²=||²=25²，
两式相减得：2•-2•=（39+25）（39-25）=896，
即2•=896，
则•=448．
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式及平方差公式的运用，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．