Question

11．设P是圆O：x²+y²=16上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）求过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

分析 （1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），由已知得x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，由此能求出C的方程．
（2）过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线方程为y=$\frac{3}{4}$（x-2），与$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立可得x²-2x-6=0，即可求出过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线被C所截线段的长度．

解答 解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），
∵P是圆x²+y²=16上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|，
∴x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，
∵P在圆上，∴x²+$\frac{16}{9}$y²=16，即C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
  （2）过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线方程为y=$\frac{3}{4}$（x-2），与$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立可得x²-2x-6=0
∴过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线被C所截线段的长度=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}•\sqrt{4+24}$=$\frac{5\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查过点（2，0）且斜率为$\frac{3}{4}$的直线被C所截线段的长度，解题时要认真审题，注意韦达定理和根的判别式的合理运用．