Question

已知函数f(x)=ekx2-kx2e（k＞0）（e为自然对数的底数）
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{a_n}，an=en2-1-n2（n∈N^*）
①证明：a_n＜a_n+12
②考察关于正整数n的方程a_n=n是否有解，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±

1 k

，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；
（2）①观察得知，当k=1时，f（x）=e(ex2-1-x2)，a_n=

f(n)

e

，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得a_n＜a_n+1；
（3）由a_n=n，得en2-1=n²+n，分析等号两端即可得到答案．

解答：解：（1）由f′（x）=2kx（ekx2-e）=0得，x=0或x=±

1 k

，
∴f（x）在 （-∞，-

1 k

）单调递减，（-

1 k

，0）单调递增，（0，

1 k

）单调递减，（

1 k

，+∞）单调递增，
∴f（x）_极大=f（0）=1，f（x）_极小值=f(±

1 k

)=0，
（2）①当k=1时，f（x）=ex2-ex2=e(ex2-1-x2)，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而a_n＜a_n+1
②由a_n=n，得en2-1=n²+n，
因n∈N₊，得 n²-1是整数，所以en2-1是无理数，
而n²+n为整数，所以en2-1≠n²+n
即方程a_n=n无解

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查利用导数研究函数的单调性，突出分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于难题．