Question

9．设f（x）=2x³+ax²+bx+1在（1，f（1））处的切线方程为y=-6．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据f′（1）=0，f（1）=-6，求出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的表达式，得到函数的导数，求出单调区间，从而求出函数的最值问题．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，
由f′（1）=0，f（1）=-6得：a=3，b=-12；
（2）由（1）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）递增，在（-2，1）递减；
从而函数f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=21，在x=1处取得极小值f（1）=-6．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．