Question

14．已知递减的等差数列{a_n}，数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，b₁b₂b₃=64，b₁+b₂+b₃=14，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；     
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断数列{b_n}为等比数列，根据条件建立方程组先求出数列{b_n}的通项公式即可求{a_n}的通项公式；     
（Ⅱ）求出{a_n}的前n项和S_n的表达式，结合一元二次函数的性质即可求最大值．

解答 解：（Ⅰ）设递减的等差数列{a_n}的公差为d，（d＜0），
∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$=${2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2^d为常数，
∵d＜0，∴0＜2^d＜1，
则数列{b_n}为等比数列，数列单调递减，
由b₁b₂b₃=64得（b₂）³=64，
∴b₂=4，
则由b₁+b₂+b₃=14，得b₁+b₃=10，
即$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}q=4}\\{{b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=8}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即b_n=8$•（\frac{1}{2}）$^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-4=2^4-n，
∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^4-n，
则a_n=4-n，
即{a_n}的通项公式a_n=4-n；     
（Ⅱ）∵a_n=4-n，
∴{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3+4-n}{2}×n$=$-\frac{1}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n=$-\frac{1}{2}$（n$-\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
∴当n=3或4时，数列的前n项和S_n的取得最大值，
最大值为S₃=S₄=6．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的应用，根据条件先求出数列{b_n}的通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．