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    已知向量
    a
    =（1-tanx，1），
    b
    =（1+sin2x+cos2x，0），记f（x）=
    a
    •
    b
    ．
    （1）求f（x）的解析式并指出它的定义域；
    （2）若f(α+
    π
    8
    )=
    		2
    5
    ，且α∈(0，
    π
    2
    )    ，求f（α）．
    分析：（1）利用向量
    a
    =（1-tanx，1），
    b
    =（1+sin2x+cos2x，0），求出f（x）=
    a
    •
    b
    ，化简为一个角的一个三角函数的形式，就是f（x）的解析式，指出它的定义域；
    （2）利用f(α+
    π
    8
    )=
    		2
    5
    ，代入函数表达式，根据α∈(0，
    π
    2
    )    ，求出sin(2α+
    π
    4
    )=
    7
    		2
    10
    ，然后求f（α）．
    解答：解：（1）∵
    a
    =（1-tanx，1），
    b
    =（1+sin2x+cos2x，0），
    ∴f（x）=
    a
    •
    b
    =（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）（2分）
    =
    cosx-sinx
    cosx
    •(2cos2x+2sinxcosx)    =2（cos2x-sin2x）=2cos2x．（4分）
    定义域为{x|x≠kπ+
    π
    2
    ，k∈Z}    ．（6分）
    （2）因f(α+
    π
    8
    )=2cos(2α+
    π
    4
    )=
    		2
    5
    ，即cos(2α+
    π
    4
    )=
    		2
    10
    ＞0，
    故2α+
    π
    4
    为锐角，于是sin(2α+
    π
    4
    )=
    7
    		2
    10
    ．（9分）
    ∴f（α）=2cos2α=2cos((2α+
    π
    4
    )-
    π
    4
    )    =2cos(2α+
    π
    4
    )cos
    π
    4
    +2sin(2α+
    π
    4
    )sin
    π
    4
    =
    8
    5
    ．（12分）
    点评：第（1）问中，必须注意tanx中x的条件限制．第（2）中，学生常会将“
    		2
    10
    =cos(2α+
    π
    4
    )    ”展开，并结合cos22α+sin22α=1，求解方程组，求cos2α的值．但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，已知向量
    a
    =（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
    π
    2
    )    ．
    （1）若
    AB
    ⊥
    a
    ，且|
    AB
    |=
    		5
    |
    OA
    |(O    为坐标原点），求向量
    OB
    ；
    （2）若向量
    AC
    与向量
    a
    共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求
    OA
    •
    OC
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量 
    a
    =（1，2），
    b
    =（cosα，sinα），设
    m
    =
    a
    +t
    b
    （t为实数）．
    （1）若α=
    π
    4
    ，求当|
    m
    |取最小值时实数t的值；
    （2）若
    a
    ⊥
    b
    ，问：是否存在实数t，使得向量
    a
    -
    b
    和向量
    m
    的夹角为
    π
    4
    ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （3）若
    a
    ⊥
    m
    ，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）•（t2，t）的单调性．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（-1，2），
    b
    =（1，1），t∈R．
    （I）求＜
    a
    ，
    b
    ＞；  （II）求|
    a
    +t
    b
    |的最小值及相应的t值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C：x2+y2=2，坐标原点为O．圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B，已知向量
    OQ
    =t
    OA
    +(1-t)
    OB
    (t∈R，t≠0)    ．
    （1）求动点Q的轨迹E的方程；
    （2）当t=
    		2
    2
    时，过点S（0，-
    1
    3
    ）的动直线l交轨迹E于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过T点？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =(cosα，sinα)    ，设
    m
    =
    a
    +t
    b
    （t为实数）．
    （1）若
    a
    与
    b
    共线，求tanα的值；
    （2）若α=
    π
    4
    ，求当|
    m
    |取最小值时实数t的值．

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