Question

设函数f（x）=x²-ax+2lnx，其中a＞0
（1）当a＜4时，判断函数f（x）的单调性；
（2）当a=5时，求函数f（x）的极值；
（3）证明：当x≥1时，x²+2lnx≥3x-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出导数f′（x），当a＜4时，判断出f′（x）符号即可．
（2）当a=5时，先解f′（x）=0，再判断根左右两侧导数的符号变化，由此即可得出答案．
（3）当x≥1时，x²+2lnx≥3x-2可变为x²+2lnx-3x≥-2，从而问题可转化为求当a=3时f（x）在[1，+∞）的最小值问题．
解答：解：定义域为：（0，+∞），
（1）．
因为x＞0，所以≥=4，
又a＜4，所以f'（x）＞0，
故当a＜4时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）当a=5时，f′（x）=2x-5+==，
令f′（x）=0，得或x=2．
当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
由上可知，当时，f（x）取极大值f（）=；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2ln2-6．
（3）即证：当x≥1时，x²+2lnx-3x≥-2，
由（1）知，当a=3时，f（x）=x²+2lnx-3x在（0，+∞）上是增函数，
仅当x=1时，f（x）在区间[1，+∞）上有最小值f（1）=-2，所以当x≥1时，x²+2lnx-3x≥-2成立，
即x²+2lnx≥3x-2．
点评：本题考查了导数的综合应用：用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，要深刻理解导数在研究函数中的作用．