Question

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²ln|x|=f（x），∴函数f（x）为偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=x²lnx．
∴=2x，
令f^′（x）=0，解得．
若，则f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
若，则f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
再由函数f（x）是偶函数，当x＜0时的单调性如下：
函数f（x）的单调递增区间是；单调递减区间是．
综上可知：函数f（x）的单调递增区间是，；
单调递减区间是，．
（3）由f（x）=kx-1，得，
令g（x）=．
当x＞0时，g^′（x）==，可知g^′（1）=0．
当0＜x＜1时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＞1时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x＞0时，g（x）_min=g（1）=1．
因此关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解的k的取值范围是[1，+∞）．
分析：（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断出；
（2）先对x＞0时利用导数得出单调性，再根据函数的奇偶性可以得出x＜0时的单调性；
（3）通过分离参数k，利用导数即可求出此时函数的极值即最值，从而可得出k的取值范围．
点评：熟练掌握函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性及分离参数法是解题的关键．