Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，（${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$）•（${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$）=-2，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：由（${\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$）•（${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$）=-2，
得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-2$，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-2$，
又|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$4+4cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-8=-2$，
即cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{1}{2}$，
∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求斜率的夹角，是中档题．