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已知正方形ABCD的边长为2,ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)a=2,求证:AO⊥平面BCD.

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

 

(1)见解析 (2)

【解析】(1)根据题意,在△AOC,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AOCO.

AOBD,BDCO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)方法一:(1),COOD,O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0,,0),

C(,0,0),B(0,-,0).

A(x0,0,z0)(x0<0),

=(x0,0,z0),=(0,,0).

平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).

平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,

所以|cos<m,n>|=|cos120°|=,=3.

因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).

平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).

设二面角A-BC-D的平面角为θ,

所以cosθ=|cos<l,m>|=||=.

所以tanθ=.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

方法二:折叠后,BDAO,BDCO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC,AO=CO=,所以AC=.

如图,过点ACO的垂线交CO延长线于点H,

因为BDCO,BDAO,COAO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH?平面AOC,所以BDAH.

COAH,COBD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AHBC.过点AAKBC,垂足为K,连接HK,因为BCAH,AKAH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK?平面AHK,所以BCHK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH,AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

RtCHK,HK==,

RtAHK,tanAKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

 

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