Question

（Ⅰ）证明二维形式的柯西不等式：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²（a，b，c，d∈R）；
（Ⅱ）若实数x，y，z满足x²+y²+z²=3，求x+2y-2z的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）用作差比较法证明（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立．
（II）利用柯西不等式求得 （x+2y-2z）²≤27，可得x+2y-2z的取值范围．

解答： 解：（I）证明：∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）² =a²d²-2adbc+b²c²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立，当且仅当ad=bc时取得等号．
（II）∵（x+2y-2z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+（-2）²） 3×9=27，
∴-3

3

≤x+2y-3z≤3

3

．

点评：本题主要考查用作差比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．