Question

已知实数x，y满足

x≥1 x-3y+4≤0 3x+5y≤30

．
求下列目标函数的取值范围．
（1）z₁=2x-y
（2）z₁=

y+5

x+5

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答： 解：出不等式组对应的平面区域如图：
（1）由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，
由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，
此时z最大．
由

x-3y+4=0 3x+5y=30

，解得

x=5 y=3

，即B（5，3）
将B（5，3）的坐标代入目标函数z=2x-y，
得z=10-3=7．即z=2x-y的最大值为7．
当直线y=2x-z经过点a时，直线y=2x-z的截距最大，
此时z最小．
由

x=1 3x+5y=30

，解得

x=1 y= 27 5

，即A（1，

27

5

），此时z=2x-y=2-

27

5

=-

17

5

，
即-

17

5

≤z≤7．
（2）求z=

y+5

x+5

的几何意义是到点C（-5，-5）的斜率，
由图象可知AC的斜率最大为

27 5 +5

1+5

=

26

15

，BC的斜率最小为

3+5

5+5

=

4

5

，
即

4

5

≤z≤

26

16

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合．