Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：AE⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据底面ABCD为矩形，判断出AB∥CD，进而根据线面平行的判定定理推断出 AB∥平面PCD．
（Ⅱ）根据PA=AD，E为PD中点，推断出AE⊥PD，进而根据PA⊥平面ABCD，推断出PA⊥CD，同时底面ABCD为矩形，推断出CD⊥AD．进而根据线面垂直的判定定理知CD⊥平面PAD．继而可知 CD⊥AE，则AE⊥平面PCD可证明．

解答： 证明：（Ⅰ）因为底面ABCD为矩形，
所以AB∥CD．
又因为 AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以 AB∥平面PCD．
（Ⅱ）因为PA=AD，E为PD中点，
所以 AE⊥PD，
因为PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥CD．
又底面ABCD为矩形，
所以CD⊥AD．
所以CD⊥平面PAD．
所以 CD⊥AE．
又AE⊥PD，PD∩CD=D
所以 AE⊥平面PCD．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生空间观察能力和逻辑推理能力．