Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，正方形的边长为3

5

，
（1）判断直线BO与直线AE是否平行，只写出结果，不要求说明理由；
（2）求证：CD⊥平面ADE；
（3）求二面角B-DE-C的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）BO与AE不平行．
（2）由已知条件推导出CD⊥AD，CD⊥AE，由此能证明CD⊥平面ADE．
（3）以D为坐标原点，分别以ED，CD所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的正弦值．

解答： （1）解：BO与AE不平行．
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵AE垂直于圆O所在平面，线段CD为圆O的弦，
∴CD⊥AE，
∵AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE．
（3）解：以D为坐标原点，分别以ED，CD所在直线为x轴，y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AE=3，正方形的边长为3

5

，∴DE=

(3 5 )2-32

=6，
由题意知：D（0，0，0），E（-6，0，0），B（-6，-3

5

，3），
∴

DE

=(-6，0，0)，

DB

=(-6，-3

5

，3)，
设平面DBE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DE =-6x=0 n • DB =-6x-3 5 y+3z=0

，取y=

5

，得

n

=（0，

5

，5），
由题意知平面DEC的法向量

m

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

m

＞=

5

30

=

30

6

，
∴二面角B-DE-C的正弦值sinθ=

1-( 30 6 )2

=

6

6

点评：本题考查两条直线是否平行的判断，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．