Question

在△ABC中，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：由已知变形可得B=

π

3

，进而可得sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A），由三角函数公式结合A的范围可求．

解答： 解：∵sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，∴cosB=

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=

π

3

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=

3

sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴

3

sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，

3

]，
∴sinA+sinC∈（

3

2

，

3

]，

点评：本题考查三角函数公式的应用，熟练应用公式是解决问题的关键，属中档题．