Question

设椭圆Γ₁的中心和抛物线Γ₂的顶点均为原点O，Γ₁、Γ₂的焦点均在x轴上，过Γ₂的焦点F作直线l，与Γ₂交于A、B两点，在Γ₁、Γ₂上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的标准方程；
（2）若l与Γ₁交于C、D两点，F₀为Γ₁的左焦点，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知（-2，0），（

3

，-

3

2

）在椭圆上，（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，由此能求出椭圆Γ₁方程和抛物线Γ₂方程．
（2）设F₀到直线l的距离为d，

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d•|CD|

=

|AB|

|CD|

，当直线l的斜率存在时，

S△F0AB

S△F0CD

＞

4

3

；当直线l的斜率不存在时，

S△F1AB

S△F1CD

=

4

3

，由此能求出

S△F0AB

S△F0CD

的最小值．

解答： 解：（1）由题意知（-2，0），（

3

，-

3

2

）在椭圆上，
（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，…（2分）
设椭圆Γ₁方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

a=2 3 4 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆Γ₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
设抛物线Γ₂方程为y²=2py（p＞0），
则（-4）²=2P×4，解得p=2，
∴抛物线Γ₂方程为y²=4x．…（6分）
（2）设F₀到直线l的距离为d，
 

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d•|CD|

=

|AB|

|CD|

．…（7分）
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x3 ，y3），D（x₄，y₄），
联立方程

y2=4x y=k(x-x)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
k≠0时，△＞0恒成立．
|AB|=

(1+k2)(x2-x1)2

=

(1+k2)• 16+16k2 k4

=

4(1+k2)

k2

，…（9分）
联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2)(x3-x4)2

=

(1+k2)• 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

S△F0AB

S△F0CD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（11分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，

S△F1AB

S△F1CD

=

4

3

．…（12分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

的最小值为

4

3

．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查两个三角形面积比值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．