Question

已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP=α（0＜α＜θ）．
（1）用α表示矩形ABCD的面积S；
（2）若θ=

π

6

，求当α取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

考点：三角函数的最值,弧度制的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得△COD为等边三角形，求得AB，在△OAB中，利用正弦定理求得AD．可得矩形ABCD的面积S=f（α）．
（2）由（1）可得S=f（α）．再由 0＜α＜

π

6

，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．

解答： 解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE=∠PDA=θ，∴∠ODC=

π

2

-θ=∠DCO，∠BOA=2θ-2α，△COD为等腰三角形．
故AB=2sin（θ-α），
再由∠ADO=

π

2

+

π

2

-θ=π-θ，
△OAD中，利用正弦定理可得

AD

sinα

=

0A

sin(π-θ)

，
化简可得AD=

sinα

sinθ

．
故矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•AD=

2sin(θ-α)sinα

sinθ

．
（2）θ=

π

6

，由（1）可得S=f（α）=

2sin( π 6 -α)sinα

sin π 6

=2sinαcosα-2

3

sin²α=sin2α+

3

cos2α-

3

=2（

1

2

sin2α+

3

2

cos2α）-

3

=2sin（2α+

π

3

）-

3

．
再由 0＜α＜

π

6

可得

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

，
故当 2α+

π

3

=

π

2

，即当α=

π

12

时，S=f（α）取得最大值为2-

3

．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．