Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+3alnx，（a∈R）．
（1）若f（x）的图象在x=1处的切线为l：y=b，求a，b的值及f（x）的单调区间；
（2）对于定义在正实数集R⁺上的函数S（x），T（x），若对任意x₂＞x₁＞0，均有S（x₂）-S（x₁）＞k[T（x₂）-T（x₁）]，（k∈R⁺），则称函数S（x）是T（x）的“超k倍速”函数，已知函数f（x）是g（x）=-x，（x∈R⁺）的“超3倍速”函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，由导数值等于0求得a的值；
（2）利用题目给出的新定义，得到对?x₂＞x₁＞0有f（x₂）-f（x₁）＞3（x₁-x₂），即f（x₂）+3x₂＞
f（x₁）+3x₁，构造函数g（x）=f（x）+3x，问题转化为g（x）在（0，+∞）上是增函数，也就是g′（x）≥0
在（0，+∞）上恒成立，然后分类分析，求出导函数的最小值，由最小值大于等于0求得a的范围．

解答： 解：由f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+3alnx，
得：f′(x)=x-(a+3)+

3a

x

，
∵若f（x）的图象在x=1处的切线为l：y=b，
∴f′（1）=2a-2=0，解得a=1．
∴b=f（1）=-

7

2

．
于是，f′(x)=x-4+

3

x

=

(x-3)(x-1)

x

 （x＞0）．
则x∈（0，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
故f（x）的单调递增区间是（0，1），（3，+∞），
单调减区间是（1，3）； 
（2）∵f（x）是g（x）的“超3倍速函数”
∴对?x₂＞x₁＞0有f（x₂）-f（x₁）＞3（x₁-x₂），
即f（x₂）+3x₂＞f（x₁）+3x₁，
也就是g（x）=f（x）+3x在（0，+∞）上是增函数，
由于g′（x）=x-a+

3a

x

，
于是对?x＞0，g′（x）≥0恒成立．
令h（x）=g′（x）=x-a+

3a

x

①当a＜0时，显然h（x）在（0，+∞）上是增函数
且x→0，h（x）→-∞，不合题意；
②当a=0时，
对?x＞0，h（x）=x＞0符合题意；
③当a＞0时，
h（x）=x+

3a

x

-a≥2

3a

-a（当且仅当x=

3a

时等号成立）．
∴2

3a

-a≥0，
得0＜a≤12．
综上得a的取值范围是：0≤a≤12．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．