Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AECM⊥平面PDB．
（2）若E是PB的中点，且AE与平面PBD所成的角为45°时，求二面角B-AE-D大小的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥面PBD，从而得到面EAC⊥面PBD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答： （1）证明：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥面PBD，
又AC?面EAC，
∴面EAC⊥面PBD．
（2）解：由（1）知AO⊥面PBD，OE是AE在面PBD上的射影，
∴∠AEO是AE与面PBD所成的角，
∵AE与平面PBD所成的角为45°，∴∠AEO=45°．
设AB=2，则AO=OE=

2

，OP=2

2

．
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），A（2，0，0），
E（1，1，

2

），D（0，0，0），
∴

AB

=(0，2，0)，

AE

=(-1，1，

2

)，

DA

=(2，0，0)，

DE

=(1，1，

2

)，
设面BAE的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AB =2y=0 m • AE =-x+y+ 2 z=0

，
取x=

2

，得

m

=(

2

，0，1)，
设面DAE的法向量

n

=(a，b，c)，
则

n • DA =2a=0 n • DE =a+b+ 2 c=0

，
取b=

2

，得

n

=(0，

2

，-1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
∴二面角B-AE-D的余弦值为-

1

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．