Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a，b，c，d∈R)，且函数f(x)的图象关于原点对称，其图象在x=3的切线方程为8x-y-18=0.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)是否存在区间[a，b]，使得函数g(x)的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与f(x)的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知有f(x)是奇函数，所以b=d=0.

又在x=3的切线方程为8x-y-18=0，

所以切点为(3，6)，且f′(x)|_x=3=8.

而f′(x)=3ax²+c，所以有

即得a=，c=-1.故f(x)=x³-x.

(Ⅱ)解方程组，得x₁=0，x₂=，x₃=，且f()=，f()=.

又f′(x)=x²-1，令f′(x)=x²-1=0，得x=±1.

所以f′(x)在(-，-1)和(1，+∞)上都有f′(x)＞0，f′(x)在(-1，1)上f′(x)＜0，故f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上都为增函数，在(-1，1)上为减函数.

所以f(x)在x=1处有极小值，在x=-1处有极大值.

而极小值f(1)=＞=f()，

极大值f(-1)=＜=f()，

所以f(x)_max=，f(x)_min=.

所以f(x)在区间[，]上的值域为[,].

综合以上得：存在区间[a，b]=[,]符合要求.