Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=2ⁿa_n．
（Ⅰ）求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂

n

an

，数列{

2

cncn+2

}的前n项和为T_n，求满足T_n＜

25

21

（n∈N^*）的n的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N⁺），当n≥2时，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2（n∈N⁺），
∴a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，
化为2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n．∴b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a₁=

1

2

．
又b₁=2a₁=1，∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

．
（Ⅱ）解：∵c_n=log₂

n

an

=n，
∴

2

cncn+2

=

1

n

-

1

n+2

，
∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…（

1

n

-

1

n+2

）=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，
由T_n＜

25

21

，得1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

25

21

，即

1

n+1

+

1

n+2

＞

13

42

，
∵f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

单调递减，f（4）=

9

20

，f（5）=

13

24

，
∴n的最大值为4．

点评：本题综合考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式、“裂项法”等基础知识与基本方法，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键．